Calcular el máximo común divisor entre dos números es una tarea muy útil y al mismo tiempo fácil de aprender. Sirve, entre otras cosas, para trabajar con fracciones equivalentes, reducirlas a su mínima expresión y así evitar el trabajo con números demasiado "grandes".
En Autoeduca te daremos 2 métodos simples para que puedas calcular el MCD sin problemas, y le pierdas el miedo a este cálculo matemático.
¿Qué es el máximo común divisor (MCD)?
El máximo común divisor entre dos números es, técnicamente, el mayor de los números pertenecientes al conjunto de la intersección de los divisores de ambos números. Dicho en un lenguaje más sencillo, el MCD (máximo común divisor) de dos números es el mayor de los números que cumplen la condición de dividirlos a ambos.
A continuación te explicamos cómo calcular el MCD entre dos o más números.
| Número 1 | Número 2 | Máximo común divisor |
|---|---|---|
| 12 | 18 | 6 |
| 24 | 36 | 12 |
| 16 | 20 | 4 |
| 45 | 60 | 15 |
| 72 | 96 | 24 |
| 27 | 81 | 27 |
Método 1: divisores
Obtener los divisores de cada número
El primer paso consiste en realizar un listado con los divisores de los números con los que estamos trabajando. Los divisores de un número son los valores que dividen a un número en partes exactas. Pondremos como ejemplo el 48 y el 36:
d(48) = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}
d(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Buscando el mayor divisor en común
Una vez que tenemos la lista de divisores para cada número, tendremos que ir evaluando de mayor a menor los divisores encontrados. Si los escribes de la misma forma que nosotros en el paso anterior, te convendrá leer los divisores de derecha a izquierda en busca del primero que se repita. Justamente ese, el primero que aparezca en todas las listas al mismo tiempo, será el MCD. En el ejemplo dado anteriormente, habrás podido notar que el MCD es 12.
Método 2: factores primos
Descomposición en factores primos
Si sabes cómo descomponer en factores primos a los números, entonces te será de ayuda para encontrar el MCD entre dos o más números. Para ello, tendrás que tomarlos todos y descomponerlos para obtener sus expresiones en factores primos. Para descomponer un número, debes ir dividiéndolo por 2 mientras la división pueda entregarte un número natural (sin decimales). Cuando ya no sea posible, deberás intentar dividiendo por 3, y así sucesivamente hasta que todas las divisiones te entreguen el número 1.
En el caso del número 48, su descomposición en factores primos es:
48 / 2
24 / 2
12 / 2
6 / 2
3 / 3
1
Lo cual da como resultado: 2x2x2x2x3, es decir, 2⁴x3. En el caso del 36 queda así:
36 / 2
18 / 2
9 / 3
3 / 3
1
Queda, entonces, 2x2x3x3, o mejor dicho: 2²x3³
Calculando el MCD
Una vez que tenemos todas las expresiones en factores primos de los números a estudiar, tendremos que hallar la expresión de su MCD: ¿Cómo se hace? Tomamos aquellos factores que aparezcan en TODAS las expresiones y los multiplicamos entre ellos utilizando el menor exponente en cada caso. En el ejemplo anterior, queda:
2²x3 = 12
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Hallar el MCD es sencillo y no existe un único método para ello. En cada caso hay que ver qué resulta más conveniente: para números pequeños puede resultar más sencillo buscar todos los divisores y encontrar el más grande que se repita, mientras que para los números más grandes es posible que sea mejor el método de la descomposición en factores primos.
